उपयोग की गई अवधारणा:

परिमेय संख्याएँ p / q रूप में व्यक्त की जा सकती हैं जहाँ p और q पूर्णांक और q ≠ 0 हैं।

अपरिमेय संख्याएँ p / q के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं या वे संख्याएँ जो तर्कसंगत नहीं हैं।

गणना:

विकल्प 1

2/3 और 22/7 परिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि दोनों को p / q रूप में व्यक्त किया गया है।

विकल्प 2

π एक अपरिमेय संख्या है, यह इसके व्यास की परिधि का अनुपात है।

हम exact = 22/7 लेते हैं, लेकिन यह it का सही मूल्य नहीं है, यह सिर्फ एक अनुमानित मूल्य है।

विकल्प 3 

जो संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं हैं, वे अपरिमेय संख्याएँ हैं।

जैसे: - :3, √7, √10

विकल्प 4

0.324324324 .... एक गैर समाप्ति और दोहराता दशमलव है, इसे p / q रूप में व्यक्त किया जा सकता है

0.324324324 .... = 36/111

∴ विकल्प 2 सही है

Concept used:

Rational numbers can be expressed in p/q form where p and q are integers and q ≠ 0.

Irrational numbers cannot be expressed in p/q form or the numbers which are not rational.

Calculation:

Option 1

2/3 and 22/7 are rational numbers as they both are expressed in p/q form.

Option 2

π is an irrational number, it is the ratio of circumference to its diameter.

We take π = 22/7 but it is not the exact value of π, it is just an approximate value.

Option 2

Numbers which are not perfect squares are irrational numbers.

eg:- √3, √7, √10

Option 4

0.324324324.... is a non terminating and repeating decimal, it can be expressed in p/q form

0.324324324.... = 36/111

∴ Option 2 is correct

दिया गया है:

जाँच करने के लिए निम्नलिखित कथन सही हैं।

I. सभी वर्ग समांतर चतुर्भुज नहीं हैं।

II. सभी समांतर चतुर्भुज समलंब हैं।

III. सभी वर्ग समचतुर्भुज हैं और आयत भी।

IV. सभी समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज हैं।

व्याख्या:

कथन I

सभी वर्ग समांतर चतुर्भुज नहीं हैं।

सभी वर्ग समांतर चतुर्भुज होते हैं क्योंकि विपरीत भुजाएँ समान और समानांतर होती हैं।

अत: कथन (I) सही नहीं है।

कथन II

सभी समांतर चतुर्भुज समलंब हैं।

समांतर भुजाओं का समांतर चतुर्भुज युग्म।

अत: कथन (II) सही है।

कथन III

सभी वर्ग समचतुर्भुज हैं और आयत भी।

समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं, इसलिए सभी वर्ग समचतुर्भुज होते हैं।

सभी वर्ग भी आयत होते हैं क्योंकि प्रत्येक अंतराल कोण का माप 90° होता है

अत: कथन (III) सही है।

कथन IV

सभी समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज हैं।

विपरीत भुजाएँ समान और समानांतर हैं।

इसलिए, कथन (IV) सही है

∴ कथन II, III और IV सही हैं।

Given:

To check the following statement are correct.

I. All squares are not parallelograms.

II. All parallelograms are trapezium.

III. All squares are rhombuses and also rectangles.

IV. All rhombuses are parallelograms.

Explanation:

Statement I.

All squares are not parallelograms.

All squares are parallelograms as opposite sides are equal and parallel.

Hence, statement (I) is not correct.

Statement II.

All parallelograms are trapezium.

Parallelogram pair of parallel sides.

Hence, statement (II) is correct.

Statement III.

All squares are rhombuses and also rectangles.

All sides of the rhombus are equal, therefore all squares are rhombuses.

All squares are also rectangles as each interval angle measures 90°

Hence, statement (III) is correct.

Statement IV.

All rhombuses are parallelograms.

The opposite sides are equal and parallel.

Hence, statement (IV) is correct

∴ Statement II, III and IV are correct.

दिया गया है:

एक व्यक्ति 7% साधारण ब्याज पर ₹9,000 उधार लेता है

8% साधारण ब्याज पर ₹12,000 उधार लेता है

9% साधारण ब्याज पर ₹15,000 उधार लेता है

समय = n वर्ष

भुगतान की जाने वाली राशि = ₹50,700

प्रयुक्त सूत्र:

साधारण ब्याज = PRT/100

धनराशि = मूलधन + साधारण ब्याज 

गणना:

9000 [S₁] पर साधारण ब्याज 

S₁ = (9000 × 7 × n)/100 = 630n

A₁ = 9000 + 630n     ----(i)

जहाँ A_1,12000 पर प्राप्त धनराशि है

12000 [S2] पर साधारण ब्याज 

S2 = (12000 × 8 × n)/100 = 960n

A2 = 12000 + 960n     ----(ii)

जहाँ A2, 12000 पर प्राप्त धनराशि है

15000 [S3] पर साधारण ब्याज 

S3 = (15000 × 9 × n)/100 = 1350n

A3 = 15000 + 1350n     ----(iii)

जहाँ A3, 15000 पर प्राप्त धनराशि है

अब समीकरण (i), (ii) और (iii) से, हमें प्राप्त होता है  

9000 + 630n + 12000 + 960n + 15000 + 1350n = 50,700

⇒ 2940n + 36000 = 50700

⇒ 2940n = 14700

⇒ n = 5

∴ अभीष्ट समय 5 वर्ष है। 

Given:

A person borrowed ₹9,000 at 7% simple interest

borrowed  ₹12,000 at 8% simple interest

borrowed ₹15,000 at 9% simple interest

Time = n years 

Amount to be paid = ₹50,700

Formual Used:

Simple Interst = PRT/100

Amount = Principal + Simple Interest

Calculation:

Simple interest on the 9000 [S₁]

S₁ = (9000 × 7 × n)/100 = 630n

A₁ = 9000 + 630n     ----(i)

Where A₁ is the amount on 12000 

Simple interest on the 12000 [S2]

S2 = (12000 × 8 × n)/100 = 960n

A2 = 12000 + 960n     ----(ii)

Where A2 is the amount on 12000 

Simple interest on the 15000 [S3]

S3 = (15000 × 9 × n)/100 = 1350n

A3 = 15000 + 1350n     ----(iii)

Where A3 is the amount on 15000 

Now from (i), (ii) and (iii), we get 

9000 + 630n + 12000 + 960n + 15000 + 1350n = 50,700

⇒ 2940n + 36000 = 50700

⇒ 2940n = 14700

⇒ n = 5

∴ The required time is 5 years.

दिया गया:

2 संख्या का अनुपात = p ∶ q 

HCF = r

प्रयुक्त सूत्र:

LCM = HCF × संख्या के सह-अभाज्य गुणनखंड

पहली संख्या = HCF × सह-अभाज्य संख्या

दूसरी संख्या = HCF × सह-अभाज्य संख्या

इस्तेमाल की गयी अवधारणा :

सह-अभाज्य संख्याएँ : सह-अभाज्य संख्याएँ संख्याओं या पूर्णांकों का एक समूह होते हैं जिसमें उनके केवल 1 सामान्य गुणनखंड होता है यानी उनका उच्चतम सामान्य गुणनखंड (HCF) 1 होगा।

गणना:

2 संख्या का अनुपात = p ∶ q 

HCF = r

इसलिए,

⇒ पहली संख्या है = p × r = pr

⇒ दूसरी संख्या = q × r = qr

⇒ LCM = p× q× r = pqr

∴ इन 2 संख्याओं का LCM pq है यह गलत विकल्प है।

Given:

The ratio of 2 number = p ∶ q

HCF = r

Formula Used:

LCM = HCF × Co - prime factors of the number 

First number = HCF × Co- prime  number 

Second number = HCF × Co- prime  number

Concept used:

Co-prime numbers: Co-prime numbers are a set of numbers or integers which have only 1 as their common factor i.e. their highest common factor (HCF) will be 1

Calculation:      

The ratio of 2 number = p ∶ q

HCF = r

So,

⇒ The first number is = p × r = pr

⇒ The second number = q × r = qr

⇒ LCM = p× q× r = pqr

∴  Incorrect option is LCM of these 2 number is pq.

दिया गया है:

मूल विक्रय मूल्य = 832 रुपये

नया विक्रय मूल्य = 448 रुपये

वस्तु को 832 रुपये में बेचकर अर्जित लाभ = वस्तु को 448 रुपये में बेचने में हुई हानि 

प्रयुक्त सूत्र:

लाभ = SP - CP

हानि = CP - SP

SP = CP × {(100 + लाभ%)/100}

जहाँ, 

SP = विक्रय मूल्य,

CP = क्रय मूल्य,

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

वस्तु को 832 रुपये में बेचकर अर्जित लाभ = वस्तु को 448 रुपये में बेचने में हुई हानि 

मूल SP - CP = CP - नया SP

⇒ 832 - CP = CP - 448

⇒ 2 × CP = 832 + 448 

⇒ CP = 1,280/2

⇒ CP = 640 रुपये 

अब, 50% लाभ प्राप्त करने के लिए विक्रय मूल्य,

SP = CP × {(100 + लाभ%)/100}

⇒ 640 × {(100 + 50)/100}

⇒ 640 × (150/100)

⇒ 640 × (3/2)

⇒ 320 × 3

⇒ 960 रुपये 

∴ 50% लाभ अर्जित करने के लिए वस्तु का विक्रय मूल्य 960 रुपये होना चाहिए।  

Given:

Original Selling Price = Rs. 832

New Selling Price = Rs. 448

Profit earned by selling the article for Rs. 832 = Loss incurred by selling the article at Rs. 448

Formula Used:

Profit = SP - CP

Loss = CP - SP

SP = CP × {(100 + Profit%)/100}

where, 

SP = Selling Price,

CP = Cost Price

Calculation:

According to the question,

Profit earned by selling the article for Rs. 832 = Loss incurred by selling the article at Rs. 448

⇒ Original SP - CP = CP - New SP

⇒ 832 - CP = CP - 448

⇒ 2 × CP = 832 + 448 

⇒ CP = 1,280/2

⇒ CP = Rs. 640

Now, the Selling Price for making 50% profit,

SP = CP × {(100 + Profit%)/100}

⇒ 640 × {(100 + 50)/100}

⇒ 640 × (150/100)

⇒ 640 × (3/2)

⇒ 320 × 3

⇒ Rs. 960

∴ The sale price of the article for making 50% profit should be Rs. 960.

दिया गया है​:

A, B और C एक व्यवसाय शुरू करते हैं। A कुल पूंजी का 33.33% निवेश करता है। B शेष का 25% निवेश करता है और C शेष का निवेश करता है।

प्रयुक्त सूत्र:

लाभ = निवेश × समय

गणना:

माना कुल पूंजी x रुपये है

A का निवेश = x/3 

शेष पूंजी = x – (x/3) = 2x/3

B का निवेश = (2x/3) × (1/4)

⇒ x/6

अब शेष पूंजी= (2x/3) – (x/6)

C का निवेश = x/2

उनके निवेश का अनुपात = x/3 : x/6 : x/2

⇒ 2 : 1 : 3

A के लाभ का हिस्सा = 2 × 162000/6

⇒ 54000

∴ लाभ में A का हिस्सा 54000 रुपये है।

Given:

A, B, and C start a business. A invest 33.33% of the total capital. B invests 25% of the remaining and C invests the rest.

Formula Used:

Profit = Investment × Time

Calculation:

Let the total capital be Rs. x

Investment of A = x/3

Remaining capital = x – (x/3) = 2x/3

Investment of B = (2x/3) × (1/4)

⇒ x/6

Now remaining capital = (2x/3) – (x/6)

Investment of C = x/2

Ratio of their investments = x/3 : x/6 : x/2

⇒ 2 : 1 : 3

A's share of profit = 2 × 162000/6

⇒ 54000

∴ The share of A in profit is Rs. 54000.

दिया गया है​:

A, B और C एक व्यवसाय शुरू करते हैं। A कुल पूंजी का 33.33% निवेश करता है। B शेष का 25% निवेश करता है और C शेष का निवेश करता है।

प्रयुक्त सूत्र:

लाभ = निवेश × समय

गणना:

माना कुल पूंजी x रुपये है

A का निवेश = x/3 

शेष पूंजी = x – (x/3) = 2x/3

B का निवेश = (2x/3) × (1/4)

⇒ x/6

अब शेष पूंजी= (2x/3) – (x/6)

C का निवेश = x/2

उनके निवेश का अनुपात = x/3 : x/6 : x/2

⇒ 2 : 1 : 3

A के लाभ का हिस्सा = 2 × 162000/6

⇒ 54000

∴ लाभ में A का हिस्सा 54000 रुपये है।

Given:

A, B, and C start a business. A invest 33.33% of the total capital. B invests 25% of the remaining and C invests the rest.

Formula Used:

Profit = Investment × Time

Calculation:

Let the total capital be Rs. x

Investment of A = x/3

Remaining capital = x – (x/3) = 2x/3

Investment of B = (2x/3) × (1/4)

⇒ x/6

Now remaining capital = (2x/3) – (x/6)

Investment of C = x/2

Ratio of their investments = x/3 : x/6 : x/2

⇒ 2 : 1 : 3

A's share of profit = 2 × 162000/6

⇒ 54000

∴ The share of A in profit is Rs. 54000.

दिया है:

दूध का पानी से प्रारंभिक अनुपात = 5 : 4

गणना:

माना दूध और पानी की मात्रा क्रमशः 5x और 4x है।

मिश्रण की प्रारंभिक सांद्रता = 5x + 4x = 9x

दूध की प्रारंभिक मात्रा = 5x

पानी की प्रारंभिक मात्रा = 4x

प्रश्नानुसार,

[5x - {20 × (5/9)}]/[4x - {20 × (4/9)} + 10] = 5/6

⇒ (45x - 100)/(36x + 10) = 5/6

⇒ 270x - 600 = 180x + 50

⇒ 90x = 650

⇒ x = 650/90

x = 65/9

मिश्रण की प्रारंभिक सांद्रता = 9 × (65/9)

⇒ मिश्रण की प्रारंभिक सांद्रता = 65 लीटर

∴ मिश्रण की प्रारंभिक सांद्रता 65 लीटर थी।

Given:

The initial ratio of milk to water is = 5 : 4

Calculation:

Let the quantity of milk and water be 5x and 4x respectively.

Initial concentration the of mixture = 5x + 4x = 9x

The initial quantity of milk = 5x

The initial quantity of water = 4x

According to the question,

[5x - {20 × (5/9)}]/[4x - {20 × (4/9)} + 10] = 5/6

⇒ (45x - 100)/(36x + 10) = 5/6

⇒ 270x - 600 = 180x + 50

⇒ 90x = 650

⇒ x = 650/90

x = 65/9

The initial concentration of the mixture = 9 × (65/9)

⇒ The initial concentration of the mixture = 65 liters

∴ The initial concentration of the mixture is 65 liters.

दिया गया है:

अम्ल और जल के दो विलयनों A और B में अम्ल और जल का अनुपात क्रमशः 7 : 9 और 5 : 3 है। A और B को x : y के अनुपात में मिलाया जाता है।

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

(x × 7/16 + y × 5/8) : (x × 9/16 + y × 3/8) = 9 : 7

⇒ (7x/16 + 5y/8) : (9x/16 + 3y/8) = 9 : 7

⇒ [(7x + 10y)/16] : [(9x + 6y)/16] = 9 : 7

⇒ (7x + 10y) : (9x + 6y) = 9 : 7

⇒ (7x + 10y)/(9x + 6y) = 9/7

⇒ 49x + 70y = 81x + 54y

⇒70y - 54y = 81x - 49x

⇒16y = 32x

⇒x/y = 16/32

इसलिए, x : y = 16 : 32 या 1 : 2 है

∴ x ∶ y का अनुपात 1 ∶ 2 है।

Given:

Two solutions A and B of acid and water contain acid and water in the ratio 7 ∶ 9 and 5 ∶ 3, respectively. A and B are mixed in the ratio x ∶ y

Calculation:

According to the question,

(x × 7/16 + y × 5/8) : (x × 9/16 + y × 3/8) = 9 : 7

⇒ (7x/16 + 5y/8) : (9x/16 + 3y/8) = 9 : 7

⇒ [(7x + 10y)/16] : [(9x + 6y)/16] = 9 : 7

⇒ (7x + 10y) : (9x + 6y) = 9 : 7

⇒ (7x + 10y)/(9x + 6y) = 9/7

⇒ 49x + 70y = 81x + 54y

⇒70y - 54y = 81x - 49x

⇒16y = 32x

⇒x/y = 16/32

So, x : y = 16 : 32 or 1 : 2

∴ x ∶ y is 1 ∶ 2.

दिया गया है:

एक व्यक्ति की मासिक व्यय उसकी मासिक बचत से 40% अधिक है।

गणना:

माना उसकी बचत 100x है। 

इसलिए, व्यय = 140x

इसलिए, आय = 240x

अब, उसकी आय में वृद्धि के बाद = 240x × 7/5 = 336x

मासिक व्यय बढ़ाने के बाद = 140x × 8/5 = 224x

इसलिए, अब नई बचत = 336x - 224x = 112x

अतिरिक्त बचत = 12x

प्रश्न के अनुसार,

12x = 2070

⇒ x = 172.5

⇒ 140x = 172.5 × 140 = 24150

∴ उसका प्रारम्भिक व्यय 24150 रुपये है। 

Given:

The monthly expenditure of a person is 40% more than his monthly savings

Calculation:

Let his savings be 100x

So, expenditure = 140x

So, Income = 240x

Now, after increase his income = 240x × 7/5 = 336x

After increase monthly expenditure = 140x × 8/5 = 224x

So, now savings = 336x - 224x = 112x

Extra savings = 12x

According to the question,

12x = 2070

⇒ x = 172.5

⇒ 140x = 172.5 × 140 = 24150

∴ His initial monthly expenditure (in Rs.) is 24150